アルデヒドは還元性を持つため、アンモニア性硝酸銀水溶液を還元し、銀鏡反応を起こす。これは定性的な性質であるが、もう少し定量的に性質を分析してみたい。すなわち、化学反応式を書きたい。 アルデヒドに含まれるホルミル基についての酸化数はである。こ…

であることと、であることから、加法定理は瞬殺できる。 の実部と虚部を比較することで、加法定理は示された

二項定理をうまく使うことで二項係数の畳み込みをついて考えることができる。 ファンデルモンドの畳み込み 二項係数を定義されない添え字の時、であると拡張すると を二通りの方法で展開する。そのまま二項定理で展開すると、 が得られる。と見て展開すると …

斜めに物体をぶん投げて、なるべく遠くに飛ばしたいとき、投げる速さも重要だが、それと比肩するのは角度である。どんなに速さが出ていても、極論真上に投げていては意味がない。 では、結局どのくらいの角度で投げるのが一番飛距離が出るのだろうか。今回は…

先日の指数関数を因数分解し続けることで得られる公式と同様の手口で、の倍角の公式を使い続けて、次のような無限積の公式が作れる。 ヴィエトの公式 ををに連続に延長した関数とすると、 を回用いることで が成り立つことがわかる。ここで、の場合には題意…

ガウス積分と呼ばれる非常に重要な積分がある。 ガウス積分の公式 高校範囲でガウス積分は求値できる。なので、今回はその方法を説明する。 有名な不等式としてがある。これにを代入するとが、を代入して逆数を取ればが出る。これらを合わせると を正の整数…

が正のとき、という因数分解を利用した等式が成り立つことは明らかであろう。また、も正なので、も因数分解できる。このアイディアを指数関数に適用してみよう。 すると、次のような公式が得られる。 の無限積展開 と定義する。このとき、である が連続関数…

こんなブログを書き続けている私は当然目が悪い。いやに意地を張って今まで裸眼でほとんどを過ごしてきたが、最近になって致命的に乱視がひどくなってきた。一応眼鏡は買ってあるので、それを時折かけてみるが、世界の解像度の高さに驚く。普段は遠くの文字…

ジェットコースターにはループという、一回転する部分が取り付けられることがある。コースターのレールに置かれたボールがループを一回転するためにはどれくらいの高さが必要か、摩擦や空気抵抗などの条件を無視して計算してみよう。 坂の上にボールを置いた…

思いついたら書き足していく。 覚えておいた方がよい積分公式を個人的に使った順で記していく。多項式の積分や基本的な三角関数の積分は除く。以下は積分定数とする。 一番使うのはの微分から導かれる積分公式である。 の積分 合成関数の微分の公式を使えば …

対称微分は少々聞き馴染みがないが、微分の定義を少し変えたものとして理解できる。 対称微分の定義 で関数が対称微分可能であるとは、極限が存在することを指し、その値を対称微分と呼ぶ 簡単な定理として、微分可能なら対称微分可能というものがある。 対…

次の約数関数を以下のように定義する。 次の約数関数の定義 に対して、をと定義する。ただし、はの正の約数全体を渡って和を取るの意味である 約数の性質として、がの約数であることとがの約数であることが同値であるというものがある。この対称性を用いると…

地震は基本的に初期微動を起こす縦波の即ち波と主要動を起こす横波の即ち波の二つの震源から同時に発せられる波によって構成されるわけだが、これらの波の速さの違いによって、初期微動継続時間という概念が定義される。 初期微動継続時間の定義 波だけが届…

本当に簡単である。 はさみうちの原理 数列について、という不等式関係が成り立ち、かつがならば、も成り立つ 論法によって簡単に示せる。どんな正のに対しても十分大きなが存在して、ならば が成り立つ。仮定の不等式から も同様に成り立ち、これはを意味し…

宇宙にある物体を飛び立たせる上で重要なのが、第一宇宙速度、第二宇宙速度の二つの速度である。 第一宇宙速度は、円運動する衛星が地球に落ち続けていられるために必要な速さである。 第一宇宙速度 地球の地表スレスレを行く円軌道を描くために必要な速さの…

数式に美しさを感じるということは、側から見れば滑稽だが、当人は確かに美しさを感じている。共感のない信仰が滑稽なのは仕方のないことだが、それでも私はレルヒの合同式は美しいということを主張したい。 さて、整数論の基本的な合同式にフェルマーの小定…

『フランダースの犬』があまり好きではない。 私はハッピーエンドが好きだ。物語には当然何者にも縛られない終わりをつけられるし、そうであるべきだとは思うけれど、フランダースの犬だけは、ハッピーエンドになって欲しかった。不幸なボタンの掛け違いによ…

妙に小気味いいのは、五七五のリズムに従っているからだろう。 さて、問題の判例の構成には対数を使えばよろしいだろう。 反例を構成する。が有理数になるような無理数ペアを用意する。 とする。このとき、なので、反例が示された。 一応の無理数性の証明を…

簡単な不等式として、非負整数に対してを証明する。 指数関数の不等式 非負整数に対してが成り立つ カントールの対角線論法より、が成り立つため、とすれば、定理は自明である

半径の円の中の格子点の数がで程度になることを示す。 円の格子点の極限公式 とすると、 証明の概略くらいは述べておこう。の無限遠での挙動は非負整数としての挙動によって制御される。 またについて論ずるよりも扇形の格子点の個数について論ずることの方…

という式について考える。これは定数を考える際にも考察した式である。その時はであればこの無限に長い指数の塔がという定数に収束することを導いた。 この無限列は実際は次のような漸化式を用いて定義される。 冪乗塔の再帰的定義 の冪乗塔をで定義する。冪…

自然数についてより知ってみたくなったのでこの記事を書く。自然数について書くには、普段我々のしている数学の基礎である集合論の、その更に基礎から言及する必要があると考えたので、この準備編を導入した。 どのような論理であっても、まずは議論する対象…

を満たす互いに素な自然数解をパラメータを使って書くことを考える。 を満たす自然数解の偶奇を考える。全て偶数だと互いに素であるという条件に矛盾する。また、任意のつの数が偶数ならば他の一つは偶数になってしまうので、これまた矛盾する。全ての数が奇…

思ったよりも自明ではない定理がユークリッドの補題である。この定理は自明のようだが、実際はそうではない。 ユークリッドの補題 素数がを割り切るとき、はまたはを割り切る をが割り切らないとき、となるようなが存在する。両辺にを掛けるとと変形できる。…

ファンデルワールスの状態方程式が私にとって難しいかったので、丁寧なメモを提供しようと思う。 理想気体の状態方程式はと書かれるわけだが、これは実際の気体の振る舞いを単純化したものである。これをもっと精密にしたい。そのために、圧力と体積に補正を…

群の部分群を全て列挙するのは非常に難しい問題だが、整数であれば可能である。 の定義 として 整数加法群の部分群の列挙 がの加法の部分群であれば、あるが存在して、となる がどのような性質を満たすのか議論する。は空ではないので、という元が取れる。こ…