ヴィエトの公式 - 数ならぬ

　先日の指数関数を因数分解し続けることで得られる公式と同様の手口で、 $\sin x$ の倍角の公式を使い続けて、次のような無限積の公式が作れる。

ヴィエトの公式

$f$ を $\dfrac{\sin x}{x}$ を $x=0$ に連続に延長した関数とすると、 $f(x)=\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty}\cos\Big(\dfrac{x}{2^n}\Big)$

$Proof$

$\sin x=2\sin\Big(\dfrac{x}{2}\Big)\cos\Big(\dfrac{x}{2}\Big)$ を $n$ 回用いることで

$\sin x=2^n\sin\Big(\dfrac{x}{2^n}\Big)\displaystyle\prod_{k=1}^n\cos\Big(\dfrac{x}{2^k}\Big)$

が成り立つことがわかる。ここで、 $x=0$ の場合には題意が自明に成り立つことを考慮して $x\neq0$ とし、 $n$ は十分に大きいものとすると

$\dfrac{\sin x}{2^n\sin\big(\frac{x}{2^n}\big)}=\displaystyle\prod_{k=1}^n\cos\Big(\dfrac{x}{2^k}\Big)$

　両辺極限を取ると題意は示せる $◽︎$

　 $x=\dfrac{\pi}{2}$ を代入すると円周率をルートのみで計算する公式が導かれる

ヴィエトの公式の系

$\dfrac{2}{\pi}=\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty}\cos\Big(\dfrac{\pi}{2^{n+1}}\Big)$ $=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\times\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\times\cdots$