負冪の約数関数は正冪の約数関数から計算できる

　 $s$ 次の約数関数を以下のように定義する。

$s$ 次の約数関数の定義

$n\in\mathbb{Z}$ に対して、 $\sigma_s$ を $\sigma_s=\displaystyle\sum_{d|n}d^s$ と定義する。ただし、 $\displaystyle\sum_{d|n}$ は $n$ の正の約数全体を渡って和を取るの意味である

　約数の性質として、 $d$ が $n$ の約数であることと $\dfrac{n}{d}$ が $n$ の約数であることが同値であるというものがある。この対称性を用いると、 $-s$ 次の約数関数から $s$ 次の約数関数が計算できることが分かる。

負冪の約数関数の計算

$\sigma_{-s}(n)=n^{-s}\sigma_s(n)$

$Proof$

$\sigma_{-s}(n)=\displaystyle\sum_{d|n}d^{-s}$

の両辺に $n^s$ を掛ける。すると

$n^s\sigma_{-s}(n)=\displaystyle\sum_{d|n}\Big(\dfrac{n}{d}\Big)^s$ $=\displaystyle\sum_{d|n}d^s=\sigma_s(n)$

　よって $\sigma_{-s}(n)=n^{-s}\sigma_s(n)$ が得られる。 $◽︎$

数ならぬ