絶対値関数はx=0で対称微分可能だぞ

　対称微分は少々聞き馴染みがないが、微分の定義を少し変えたものとして理解できる。

対称微分の定義

$x=a$ で関数 $f$ が対称微分可能であるとは、極限 $\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}$ が存在することを指し、その値を対称微分と呼ぶ

　簡単な定理として、微分可能なら対称微分可能というものがある。

対称微分の十分条件

$x=a$ で $f$ が微分可能ならばその点で対称微分も可能であり、微分と対称微分は等しい

$Proof$

対称微分の式を以下のように変形すればよい。

$\dfrac{f(a+h)-f(a)}{2h}+\dfrac{f(a)-f(a-h)}{2h}$

　この式の極限を取ると、対称微分が微分に一致することがわかる $◽︎$

　対称微分は絶対値関数の $x=0$ の点でも使える。

$x=0$ での絶対値関数の対称微分

対称微分の定義により

$\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{|h|-|-h|}{2h}=0$

が分かる

数ならぬ