数ならぬ

理学系のこと、特に数学について書きます。雑学的な知識もまとめていく所存。

斜方投射で一番遠くに飛ばせるのは何度？

　斜めに物体をぶん投げて、なるべく遠くに飛ばしたいとき、投げる速さも重要だが、それと比肩するのは角度である。どんなに速さが出ていても、極論真上に投げていては意味がない。

　では、結局どのくらいの角度で投げるのが一番飛距離が出るのだろうか。今回は力学的にこの問題を解決しようと思う。

　直感的には、投げる角度が45^{\circ}のとき、一番遠くに飛ぶと思われる。この直感は正しいのだろうか。

　原点の位置にボールを置き、x軸正の方向から反時計回りを正として角度\thetaを取る。0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}とすれば十分だろう。ボールに大きさがvで一定の初速度を\theta方向に与える。ボールの質量はmであり、ボールは質点とみなせるものとして、重力加速度はgとする。

　速度をx軸方向とy軸方向に分解すると、x軸方向の成分v_x=v\cos\thetaとy軸方向の成分v_y=v\sin\thetaが得られる。時刻tをボールに初速を与えた瞬間を0として設定する。加速度は-gなので、等加速度運動の公式に当てはめると

\begin{equation} \begin{cases} x(t)=vt\cos\theta\\ y(t)=vt\sin\theta-\dfrac{1}{2}gt^2 \end{cases} \end{equation}

が得られる。ということでy(t)=0となる0ではないtは

t=\dfrac{2v\sin\theta}{g}

であるため、この時刻までボールはx軸方向に移動できる。さて、この時刻をx(t)に代入すると

\dfrac{2v^2\cos\theta\sin\theta}{g}

が得られる。これは\thetaの関数とみなせるので、この関数の最大値を求めれば良い。\sin2\theta=2\cos\theta\sin\thetaであることを思い出すと、この関数は\dfrac{v^2\sin2\theta}{g}と書けるため、\theta=\dfrac{\pi}{4}のとき、最大値\dfrac{v^2}{g}を取る。