オストワルト法はアンモニアと酸素から硝酸を作る方法である。触媒は白金である。 第一段階の反応はアンモニアの空気酸化である。このときに触媒を用いる。アンモニアは酸化することで一酸化窒素になる。このとき窒素の酸化数に注目すると、となる。酸化数の…

数列に対して、その初項からある項までの平均を数列とみなしたものをチェザロ平均と呼ぶ。 チェザロ平均 数列に対してそのチェザロ平均をと定義する ここでちょっとチェザロ平均の列について直観的な議論をしてみよう。の収束を仮定すると、十分に遠い項では…

酸性雨とはよく言われているが、弱い酸性ならば普通の雨水も持っている。実際に、酸性雨といわれない条件の下でも雨水はくらいを維持している。大気の組成を考えればわかるが、雨水は二酸化炭素を少し吸収している。その水に溶けた二酸化炭素が水とくっつい…

三角形の周りに正三角形を作り、その重心を結ぶと正三角形になる。 この幾何学の定理をナポレオンの定理という。このナポレオンはあのナポレオンである。 ナポレオンの定理 三角形について、三角形の外部にが正三角形になるようにを取ると、の重心を結んだ三…

ほとんど整数な実数列を を次のように定義する。 ほとんど整数列 ある実数列がほとんど整数であるとは、ある整数列が存在して 例えばとしたとき、はほとんど整数である。実際に電卓を叩いてみるとわかるが、が成り立つためである。 さて、ほとんど整数列につ…

多項式を多項式で割り算すると、での次数をよりも低くできる。つまり、次のような定理が成り立つ。 多項式の割り算 多項式に対して、よりも次数の低いと次数に制約のないが存在して、と書ける。 具体的に構成方法を与える。に対してに最高次の次数と係数が合…

特性線は原子に電子を高速でぶつけることによって生成される。 実際には原子の周りにある電子を高速でぶつかってきた電子が弾き飛ばすことで、より外側の電子が内側に強制的に下ろされ、そのエネルギー分の波長、もしくは振動数をもつ線が作られる。 さて、…

命題と推論規則について考えてみよう。 まず、この世界には命題という(真)と(偽)の真理値と呼ばれる二値をどちらか一つ与えられるものがあるとする。この命題に対して、いくつかの操作を考えてみる。 もっとも基本的なものとして、について考えてみよう。 は…

整数係数の次方程式について考える。このときこの方程式に整数解が存在しないことを証明したい。そういう時にはが役に立つかもしれない。 次の定理は当たり前であるが、普段はあまり意識しない。 素数法への還元 とする。整数係数の多項式に対してであること…

電気陰性度というのは化学における重要な量である。一言で言うと、原子の電子の引き付けやすさを数値化したものである。 この電気陰性度の定義には様々なものがあるが、今回は簡単に定義できるマリケンのものを紹介してみる。 マリケンの電気陰性度を知るた…

数値実験が大切であることの証左としてオメガ定数について考える。 と写像を定めて、方程式について考えてみる。このとき、は実数全体で連続であり、なので中間値の定理により、この方程式はの間に解を持つ。 また、なので、ではは単調増加し、それ以外では…

は以下の反応式に従って可逆的に二段階電離する。 そしてこの時、一段階目、二段階目の電離定数をそれぞれ、水の電離定数をとおくと、平衡に達した時、化学平衡の法則から次のモル濃度に関する独立した二式が立てられる。 この連立方程式の変数はのつである…

酸の電離度は電離定数と呼ばれる平衡定数の一種から求めることができる。一般的な酸をと書く。 この時以下の可逆な式の平衡定数をと書く。 この条件のもとでの電離度を求める。まずは電離度をとおいて、の全体のモル濃度をとする。そして平衡に達した時のの…

例えば進法でという数が与えられたとする。このとき、この数を見やすさのために進法へ変換したい。 実はこの変換の方法はとてもシンプルである。 進法から進法への変換例 を後ろから桁ずつに区切る。要するにというようにする。区切った各部分で進数表記から…

三角形について成り立つ不等式はいくつかあるが、今回は二つの三角形を扱う不等式を見てみようと思う。 ぺドーの不等式 二つの三角形について三角形の辺の長さをと置いて、面積をと置くと、が成り立つ。等号成立条件はとが相似であること 二つの三角形の面積…

誕生日のパラドックスとは、多くの人間の直感と反する確率論のパラドックスである。実際に問題としてといてみよう。 誕生日のパラドックス 人が同じ部屋にいるとする。このとき、この部屋に同じ誕生日の人間の組が存在する確率はいくつか。ただし、人がある…

ソーシャルゲームのガチャで確率と聞くと回引いたら目当てのものは引けそうなものであるが、この直感は正しいものなのだろうか。 一回の試行で一定の確率で起こる現象について、回の試行でが初めて発生するとき、その確率はである。回が起こらないという現象…

昔の我が家では父がどこからか譲り受けてきたブラウン管のテレビを使っていた。現れる色は古びた写真のよう、ちらちらと画面が瞬いていて、とても今の時代のと比べられるものではない。しかし、そのどこか懐かしく愛らしい、丸みを帯びた画面が今も記憶の片…

同心球殻コンデンサとは中心が一致するような導体球と導体球殻によって作られるコンデンサである。下図のような組み合わせである。 球殻コンデンサの模式図 内側の球の半径をとして、外側の球殻は厚みを無視できるほど薄く中心からの距離はであるとする。ま…

平行板コンデンサとは金属平板を二枚平行に向かい合わせることで電荷を貯められるようにした素子のことである。この記事では以降、平行板コンデンサのことを単にコンデンサと呼称する。 平行板コンデンサの模式図 このとき、コンデンサにかけられている電圧…

級数が絶対収束するとは、実数の級数の各項に絶対値をつけた級数が収束することを指す。これは収束よりも強い概念である。絶対収束しているならかならず収束する。 この定理を示すためにはコーシー列という概念が必要になる。コーシー列とは、簡単に言えば最…

以前、三人でじゃんけんをすると大体回で終わることを証明した。しかし、その中で有名問題に取り組むことを忘れていた。それは人で行った回のじゃんけんがあいこになる確率である。 一つ確認しておきたいのがあいこではない時がどのようなシチュエーションで…

チェバの定理をベクトルを用いて証明する。 チェバの定理 三角形の内部に点をとって、直線と三角形の交点をそれぞれとおくと、が成り立つ チェバの定理の図 交点はベクトルで簡単に求められるので、チェバの定理も簡単に証明できそうだ。 を始点にとってベク…

気体が充満した箱を持ち上げるとき、我々は気体の重さと箱の重さの和を実際に重さとして感じているが、これはちょっと不思議なことだ。気体は箱の中を激しく運動していて、箱に接していない気体の粒子も幾分か含まれると予想されるからだ。この不可解に思わ…

この記事ではフェーン現象に関する法則、計算、そして物理モデルについて考える。 フェーン現象とは、水蒸気を含んだ湿った空気が山などの高所に登ることによって冷やされて、高所から降りてきた時に元よりも高い温度の乾燥した風として吹き下ろす事象である…

実数に対して二次方程式が与えられているとする。このとき、この方程式が実数解をもち、その全てが正になるためのの条件を求める。 判別式の考え方により方程式が実数解を持つためにはが成り立っている必要がある。以降、この不等式は暗黙のうちに仮定してお…

整数係数二元一次不定方程式とは整数に対してを満たすような整数を列挙する問題である。この時、この方程式が解を持つか否かが重要になる。この方程式に解が存在する必要十分条件には非常に簡単なものが存在する。 べズーの等式の定理 となる整数の存在がcの…

調和級数が発散することを示す。積分による不等式の証明を行う。 とおく。を下から抑える。は単調減少であるので積分に関して不等式 が立てられる。右側の不等式を使う。右側の不等式をからまで足し合わせると、が成り立ち、不等式の左辺は区間の合併によっ…

錐の体積を求めるにはそもそも錐とはどのような図形かを知っておかなければならない。錐という図形は円錐、四角錐、三角錐など様々な種類があるが、実は共通しているポイントがある。それは相似性である。底面と呼ばれる図形が一点に収束していっている構造…

ペラン数列は素数判定に使うことができた。ということでペラン数列を一般化した数列をたくさん生み出すことでより精度の高い素数判定が可能になると考えられる。ペラン数列がなぜ素数判定に使えるのかは証明を見ればわかる。そして、証明から数列が素数判定…