はさみうちの原理の証明は簡単である

　本当に簡単である。

はさみうちの原理

数列 $a_n,b_n,c_n$ について、 $a_n\leq b_n\leq c_n$ という不等式関係が成り立ち、かつ $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=c_n=\alpha$ がならば、 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=\alpha$ も成り立つ

$Proof$

　 $\epsilon-N$ 論法によって簡単に示せる。どんな正の $\epsilon$ に対しても十分大きな $N$ が存在して、 $n\ge N$ ならば

$\alpha-\epsilon < a_n,c_n < \alpha+\epsilon$

が成り立つ。仮定の不等式から

$\alpha-\epsilon < b_n < \alpha+\epsilon$

も同様に成り立ち、これは $\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=\alpha$ を意味している $◽︎$

数ならぬ

理学系のこと、特に数学について書きます。雑学的な知識もまとめていく所存。

はさみうちの原理の証明は簡単である