超絶有名な結果なので、知っている人も多いだろうが、証明をつける。 ネイピア数は無理数 をネイピア数とする。は無理数である テイラー展開の式を用いると、とかける。と仮定する。 この時、と書くことができる。 ここで、は整数であるので、も整数である必…

拝啓、二次方程式の解の公式を覚えたくない人へ。 覚えてください。 敬具 別にふざけているわけではない。二次方程式の解の公式は高校数学でも普通に使う、常識のようなものである。なので、覚えてください。 とは言っても、覚えるだけではその本質が理解で…

中学校の数学では、次のような問題が最初期に出る。 計算の工夫 を工夫して計算しなさい この手の計算を嫌う人はなんとなく多そうだが、こういう計算は日常生活でそこそこ役に立つ気がする。まあ別に電卓があれば十分であるが。 一応、計算の工夫の方法を説…

世界人口が気づいたら億人を突破していた私である。少し前まで億人と言われていたのにも関わらず、もう億人増えたのである。ここで、来年の世界人口に驚きすぎないために、世界人口がどれほどになるのか予測を立ててみよう。 さて、予測を立てるにはまず人口…

という等式と という等式は非常に有名である。これらの等式は次のような形式でまとめられる。 無限級数の一般化 ここで定義したで二つの等式は、とまとめられる。ここでさらなる値を求めたくなるのが人情というものである。具体的にはあたりを求めてみたい。…

三平方の定理とは世界一有名な定理だと勝手に思っているので、説明を省こうと思ったが、やはりの原則によってそのことについて書こうと思う。 三平方の定理 が直角である直角三角形について、の長さをそれぞれとおくと、 が成り立つ シンプルで美しい、まさ…

私事だが、最近運動を活発に行うようになってきた。健康上の懸念とかそういうのではなく、ただ単にやりたいからやっているだけだ。汗を流すのはこの寒い冬(あき) だととても気持ちいい。夏はまあ、立っているだけで運動みたいなものなので、あまりしていなか…

無理数性証明で最も簡単な素数に対するの無理数性証明を行う。証明は本当に簡単で、おそらく中学生の頃、発展的に証明をしてみた人も多いのではないだろうか。ただ証明するだけでは面白くないので、いくつかのパターンで証明をしてみた。 第一の証明 おそら…

の定理というものがある。この定理は階乗についての合同式で、次のような形である。 の定理 を素数とする。 証明は逆元の性質を使ったものになる。 証明に本格的に入る前に以下の補題を示す。 補題 因数分解のように式を変形すると、 で、整数には逆元が存在…

は奇素数と仮定する。またを正の整数と仮定する。 合同式の解 はほとんど自明である。よってを示す。に対してが成り立っている。これを因数分解の形に持っていくと、という式が導ける。のの指数を、のの指数をとする。このとき、とするとの下で ①かつ② が成…

ヨットもしくはヤッツィーというゲームがある。このゲームはサイコロを五つ使って遊ぶ、ちょっとした運ゲーである。 出目の状態で役が一つ決まり、役に応じて点数をもらうことができるが、一度点数を得るのに使った役はそのゲーム中はもう使うことができない…

みなさま、このような式をご覧になったことがございまして? ただルートをかけ続けるだけなのに、左辺には黄金比で知られるという数が現れるのだ。どういう仕組みでこんな等式が成り立っていると言えるのだろうか。今回はこの無限ルートの謎に迫っていきたい…

ちょっと背伸びしたい頃は誰にでもあることだ。私はいまだにその頃から抜け出せていない。平均値は次のように定義される統計学では代表値と呼ばれる、データを説明するための量の一種である。 平均値の定義 データ数がであるデータに対して平均値はと定義さ…

別にロマンチックな話をするわけではないが、大層なタイトルをつけてみた。私はこの間初めて知ったのだが、香道と呼ばれる日本の伝統的な趣味があるようだ。私が知っている道は茶道、華道、剣道、柔道くらいのものだったので、大変に驚いたものである。 その…

金融の法則で、の法則なるものがあるらしい。 72の法則 複利において利子を%とおくと、元の金額から二倍の金額になるまでにかかる期間は大体である これは複利の考え方がわかっていれば簡単に導ける法則である。次のように条件を設定する。 条件設定 の価値…

残暑が終わったと思ったら急に冷え込み、秋なのに秋にはあらねどと言った感じの天候である。近くの植木通りに植えられた銀杏が実を落としてそれが脳天に直撃したことをこの場で報告しておく。 この話は今回の話題に全く関係ない。本題に入ろう。中学生の頃、…

論述では使えないが、ただ確率漸化式の一般項を書くような問題に出会ったときに使える小技を紹介しよう。例えば次のような問題があるとする。 確率の問題 回どの目も等確率で現れるサイコロを投げたとき、が出た回数が偶数回となるような確率を求めなさい よ…

これから群論について書こうと思っているので、そこで現れる数々の抽象的な用語に対応するべく、この記事を書く。と言ってもそこまで難しくないので、欲でこの記事を書いていると思ってもらって構わない。 定義1.1二項演算 写像が集合の上の二項演算であると…

完全数というのは魅力的な対象である。おそらくこのブログを観に来るような人は大抵数学好きであるから定義を知っているだろうが、一応私はブログをにするように心がけているので、定義を入れておこう。 完全数の定義 自然数の中でも、その正の約数の和が自…

無理数に決まっている。 と置く。この時、であるので、両辺二乗して展開すると、 幸いにも定数を消すことができるので、そうすると、が導ける。 と変形できるのでこの両辺を二乗する。すると、が導ける。ここで、が一つだけになったことに注目する。得られた…

今も時たまやることではあるが、幼い頃から階段を一段飛ばしで上るのが楽しかった。今考えるとちょっと滑稽だが、階段を一段飛ばすことで漠然と決められた生活のルールみたいなものを破っている気分になれたからである。 そんな話は、結局は数学の話に帰着さ…

初記事（怠惰によって嘘になってしまった）がこんなんでいいのか不安だが、タイトルを決めてしまったものは仕方ない。さて、今からアリス、ボブ、チャーリーのABC三兄弟姉妹でじゃんけんをすることを考える。多分誰が余ったお菓子一個を食べるかで言い争いで…

因数定理を使って因数分解したい。でも有理数の解がすぐに見つけられない。 ある数の無理数性を証明したい。その無理数が満たす方程式はわかってるんだけど。 以上のような悩みを抱えたあなたに、はい、これ一本で全て解決！ 有理根定理 整数係数の次方程式…

最近の一橋大学の入試問題で約数関数との大小関係が問われたようだ。なかなかいい問題を出すじゃないかとそこそこの上から目線を向けていたが、問題を一般化できることに気づいたので、そのことをまとめようと思う。 ただ、入試問題というのは残念ながら著作…