数ならぬ

理学系のこと、特に数学について書きます。雑学的な知識もまとめていく所存。

第一宇宙速度と第二宇宙速度

　宇宙にある物体を飛び立たせる上で重要なのが、第一宇宙速度、第二宇宙速度の二つの速度である。

　第一宇宙速度は、円運動する衛星が地球に落ち続けていられるために必要な速さである。

第一宇宙速度

地球の地表スレスレを行く円軌道を描くために必要な速さのことを第一宇宙速度という

　第一宇宙速度は地球の重力圏の内側だったが、地球の重力圏を振り切るために必要な速さが第二宇宙速度である。

第二宇宙速度

地球の重力を振り切るために必要な速さを第二宇宙速度という

　これらの速さを求めるのはエネルギー保存則や円運動の良い演習になる。

　以下、地球を球体とみなし、地球の半径を $R$ 、地球の質量を $M$ として、万有引力定数を $G$ 、打ち上げる質点の質量を $m$ と置く。

　地表で物体が円運動している時、円運動の加速度式と運動方程式から、物体の速さを $v_1$ とすると

$m\dfrac{v_1^2}{R}=G\dfrac{mM}{R^2}$ $\Longleftrightarrow v_1=\sqrt{\dfrac{GM}{R}}$

　つまり、第一宇宙速度は $\sqrt{\dfrac{GM}{R}}$ である。

　第二宇宙速度についても考えてみると、 $v_2$ の速さで地表から物体を打ち上げた時の力学的エネルギーは $U=\dfrac{1}{2}mv_2^2-\dfrac{GmM}{R}$ である。特に外力などに仕事をされなかった場合、力学的エネルギーは保存する。無限遠に飛んで行きたい時、無限遠での運動エネルギーが $0$ 以上である必要があり、無限遠では重力による位置エネルギーは $0$ になる。よって、

$\dfrac{1}{2}mv_2^2-\dfrac{GmM}{R}\ge0$ $\Longleftrightarrow v_2\ge\sqrt{\dfrac{2GM}{R}}$

という速さの不等式が導かれ、右辺が第二宇宙速度である。

　第一宇宙速度はだいたい $7.9[\mathrm{km/s}]$ であり、第二宇宙速度は $11[\mathrm{km/s}]$ くらいである。

　式の形を見れば即座に導けるが第一宇宙速度と第二宇宙速度には以下の関係が成立する。

第一宇宙速度と第二宇宙速度の関係式

どのような天体であっても、第一宇宙速度を $v_1$ 、第二宇宙速度を $v_2$ とすると、 $v_2=\sqrt{2}v_1$ という等式が成り立つ