素数の無限性 素数は無数に存在する 有名な背理法で示す。 仮に素数が有限個しか存在しないと仮定しよう。このとき、という個の素数しか存在しないとしてもよい。このときという新たな数を考える。このときはのどれでも割り切れないので、素数が有限個しかな…

変な誤解を払拭するため。あと証明が楽しいため。 素数の等差数列の長さの有限性 公差が以上の素数の等差数列の長さは有限である。 もしも無限に長い素数の等差数列があったとする。等差数列なので公差が定まるので公差をとして初項をとする。ここで仮定によ…

二次方程式の解の判別式は次のように定義される量である。 という二次方程式について、判別式は この判別式という量の意味付けは二次方程式の解の公式に求めることができる。二次方程式の解の公式はとかけた。ここで、が全て実数であれば判別式に次のような…

という公式がある。 これの証明を行う。とする。 この数列の漸化式を導く。よりが出る。 でありが定義より従うので、となる。これを変形すると、である この公式にはもう一つ解釈の方法がある。公式を変形すると が導かれる。ここでとおく。両辺にをかけると…

これはとてもプラスチックです。 これはとてもプラスチックです。 これだけではよくわからない。なのでこの式の満たす方程式を開示する。 プラスチック数 を満たす唯一の実数をプラスチック数と呼んで、で表す プラスチックという名前が異質な雰囲気を醸し出…

久々にお手軽な記事を書こうと思い立った。ちょっと便利なツールを作るのもまた一興である。 今回考えるのは与えられた秒数を秒数 分数 時数 日数(=)という表記にして返すアルゴリズムである。例えば秒はと変換される。 きちんと単位の定義を述べるべきだろ…

例えば実験から式を予測するときに、点の分布から直線の式を予測したいときがある。このときに役立つのが最小二乗法である。最小二乗法の基本的な考え方は、全体的に誤差が少ない曲線、つまり誤差が最小の曲線を選ぶことにある。 この誤差とは、今回の文脈で…

Desmosとは、グラフを描画してくれたりする素晴らしいツールである。 関数を描けるということは、文字が書けるということである。 www.desmos.com ひまな時に眺めたら楽しいかもしれない。

実数ではゼロ除算ができない。次の命題が成り立つからである。 は吸収元である すべての実数にたいして、が成り立つ 上の命題はなぜ除算を禁止するのだろうか。そのことを考えるために、まずは除算の定義について思い出してみよう。 高校までに習う除算は二…

有名な事実ではあるが、次のような定理が成り立つ。 の整除性 を素数としたとき、はを満たせばの倍数である のとき、と展開できる。分子はの倍数である。ここで分母に着目する。これはであることからの倍数ではない。よって分子のはキャンセルされずに残るの…

タレスの定理は古代ギリシャで哲学者タレスによって証明された、数学史上初めての定理と呼ばれることもある定理である。その主張はこうである。 タレスの定理 円の直径をとる。このとき円上の点と直径の二つの交点を結んでできた三角形は直径を斜辺とする直…

驚くべきことに、電気回路において、単振動に似ている現象が発見された。 電気振動LC回路 上の図のように電気回路を組み立てる。このとき、スイッチは開いた状態になっていて、コンデンサの電気容量を、コイルの自己インダクタンスを、電池の起電力をとおく…

ドップラー効果とは、音源や観測者が動くことで、観測者の受け取る周波数が変わるという現象である。また、その理解は若干難しいので、記事を書くことにした。 まずは、アニメーションでドップラー効果を体感してみよう。 音源が移動することによって、観測…

黄金比はと定義される無理数である。この無理数は方程式を満たす。 さて、このときを考えてみよう。そのまま乗すると計算量が大幅に大きくなるので、を利用しよう。であることに十分に気をつける。 まず、 が成り立つ。 ついで と という等式が導かれる。 こ…

の場合はどちらも無理数にはならない。またでは正五角形を考えることでは無理数となることがわかる。よってについて考えればよい。このとき、次の定理が成り立つ。 の無理数性 について、は無理数である チェビシェフ多項式と有理根定理を思い出す。チェビシ…

の二倍角の公式は次のような定理である。 二倍角の公式 証明は加法定理を使うだけである。 さて、さまざまな文脈で倍角の公式、倍角の公式などなどを考えたいときがある。そこで倍角の公式を与えるような一般的な方法がないかどうか、考えてみる。天下り的だ…

冪乗の収束 のとき、 のときにはが成り立つことに注意すると、単調収束定理より、は極限値を持つことがわかる。これをとおく。 が成り立つが、一方では、が成り立つ。 よってという等式が導かれる。に注意すると、がわかる。 のとき、この絶対値はと等しく、…

ただ事実を証明するだけ。 一様収束の性質 は上で連続な関数列とする。このとき、が一様収束であるのならば、は上で連続 一様収束の解釈をするためには紐を用意するのが大切だ。紐を定規で押し潰すように収束させるのが、一様収束である。 一様に収束する関…

いまから嘘の話をするので話零分で聞いてもらいたい。 その昔、スフィンクスという獅子の体に人間の頭をした怪物がいた。この怪物は「朝には四本足、昼には二本足、夜には三本足になる生き物ってな〜んだ」という大喜利を旅人に仕掛けては、答えに詰まったと…

秋という季節はなくなり、日本は四季が一つつゆと消え、寒暖の差は瀑布のごとくになった。秋麗(あきうらら) は雀の涙ほど僅少となって、昔日に羨望を抱かざるを得ない。 それと同時に食欲の秋、スポーツの秋などという秋の文化は次第に人々からなくなってし…

三角関数の合成は非常に簡単な公式である。ただ、その汎用性は高く、最大値を求める問題や、物理学のインピーダンスを求める際にも使われるので、紹介しておこう。 まず、加法定理を思いだそう。加法定理は、 という式だった。と置き直すと、加法定理は と書…

リーマン-ルベーグの補題の一般化。

のために証明を書く。一応幾何的な証明と解析学的な証明の二つを載せておこう。 加法定理 幾何的な証明 ちょっと気に食わないが、いろいろな式を前提として証明を進めていこう。 証明に用いる補題を以下に記載する。 余弦定理 について、辺の長さをとしての…

当然、無理数である。 次の定理を認めてほしい。 の加法定理 にたいしてが成り立たてば、 加法定理で、とすると即座に次の事実が得られる。 二倍角の公式 であるのならば、 二倍角の公式を用いると、が有理数であると仮定すれば、は有理数である。 ここで加…

かなり有名な不等式として、次のようなものがある。 コーシー-シュワルツの不等式 実数について全てのでが成り立つときの等号成立条件は、となる共通のが存在すること さまざまな証明があるが今回は思いつきやすい証明を用いる。まず不等式が成り立つことを…

アーベルの級数変形という、積の和の形の級数をうまく変形する方法がある。 アーベルの級数変形公式 を漸化式を満たすような数列とする。このとき、 場合わけをなくすためにを漸化式によって定義したが、普通はと表記される数である。 さて、の定義から、が…

高校の倫理で勉強すると思うが、ダランベールというのはフランスの百科全書派の哲学者である。 彼の名を冠する理学の概念はいくつか存在するが、今回はその一つであり、極めて有用な定理を紹介しようと思う。 ダランベールの収束判定法とは次のような級数の…

以前の記事で示したように、関数の回転は意外と簡単にできることがわかった。そこでこの技を使って高校数学の求積問題の中でもやや難しい斜回転体の体積を求めることに挑戦してみようと思う。 その中でも非常に典型的な問題を持ってきた。 放物線と直線の斜…

暇な人間ほど何かを回したがる。例えば、ペン回し。例えばハンドスピナー。回転という動きがあるが単純な現象に、我々は強く惹かれるようである。では、ペンでもハンドスピナーでもないものを回してみよう。それは楕円である。 図形を回転させるというのは数…

指数関数の逆関数として対数関数は定義される。具体的にはつぎのように定義される。 対数関数 としたとき、を満たすような一意に存在するをと定義する 定義中に現れたを底といい、以降、底である数にはが成り立っているものとする。 また定義中ののことを真…