eが無理数であることの証明

　超絶有名な結果なので、知っている人も多いだろうが、証明をつける。

$e$ をネイピア数とする。 $e$ は無理数である

$Proof$

テイラー展開の式を用いると、 $e=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{1}{n!}$ とかける。 $e=\dfrac{a}{b},a,b\in{\mathbb{Z}}_{\ge 0}$ と仮定する。

　この時、 $b!e=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{b!}{n!}=\sum_{n=0}^b\dfrac{b!}{n!}+\sum_{n=b+1}^{\infty} \dfrac{b!}{n!}$ と書くことができる。

　ここで、 $\displaystyle\sum_{n=0}^b\dfrac{b!}{n!}$ は整数であるので、 $\displaystyle\sum_{n=b+1}^{\infty} \dfrac{b!}{n!}$ も整数である必要がある。

　 $\displaystyle\sum_{n=b+1}^{\infty} \dfrac{b!}{n!}=\dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{(b+1)(b+2)}+\cdots$ とかけて、左辺に関して不等式を立てると、上から $\displaystyle\sum_{n=b+1}^{\infty} \dfrac{b!}{n!}<\dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{(b+1)^2}+\cdots$ と抑えられる。