微分の公式の証明

　偏微分などはふくめず、常微分に限定する。

微分の性質

開区間 $I$ 上で微分可能な二つの関数 $f,g$ について

$\dfrac{\mathrm{d}(f+g)}{\mathrm{d}x}$ $=\dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}+\dfrac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x}$

$\dfrac{\mathrm{d}fg}{\mathrm{d}x}$ $=\dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}g+f\dfrac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x}$

$Proof$

和の方は非常に簡単に証明できる。微分の定義に立ち返る。

$\dfrac{\mathrm{d}(f+g)}{\mathrm{d}x}$ $=\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(x+h)+g(x+h)-f(x)-g(x)}{h}$ $=\displaystyle\lim_{h\to0}\Big(\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ $+\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h}\Big)$

ここで $f,g$ の微分可能性が役に立つ。

$=\displaystyle\lim_{h\to0}\Big(\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ $+\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h}\Big)$ $=\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ $\displaystyle+\lim_{h\to0}\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h}$ $=\dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}+\dfrac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x}$

積のほうを示す。やや難易度は上がる。定義から証明することは変わらない。 $\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}$ $=\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(x+h)g(x+h)-f(x+h)g(x)+f(x+h)g(x)-f(x)g(x)}{h}$ $=\displaystyle\lim_{h\to0}\Big(f(x+h)\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h}$ $+g(x)\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\Big)$

$f,g$ の微分可能性とそこから導かれる連続性を用いると、

$=\displaystyle\lim_{h\to0}f(x+h)\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h}$ $\displaystyle+g(x)\lim_{h\to0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ $=f\dfrac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x}+\dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}g$ $◽︎$

s続いて、合成関数の微分を証明する。

合成関数の微分

$x(t)$ を開区間 $I$ の上で微分可能、 $f$ を開区間 $x(I)$ 上で微分可能な関数とする。このとき、

$\dfrac{\mathrm{d}f(x(t))}{\mathrm{d}t}$ $=\dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$

厳密な証明を試みる。その前にお気持ちの理屈だけ説明しておく。

$\dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}$ を定義に従って計算する。

$\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(x(t+h))-f(x(t))}{h}$ $=\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(x(t+h))-f(x(t))}{x(t+h)-x(t)}\dfrac{x(t+h)-x(t)}{h}$

微分可能性により $\lim$ は配ることができて、最右辺は $\dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$ に収束する。

これでも大半の関数に対して正しいが、より一般の関数に適用するためにすこし遠回りして証明する。

$Proof$

$\begin{equation} d_1(\Delta x)= \begin{cases} \dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}-\dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}&\Delta x\neq0\\ 0&\Delta x=0 \end{cases} \end{equation}$ $\begin{equation} d_2(\Delta t)= \begin{cases} \dfrac{x(t+\Delta t)-f(t)}{\Delta t}-\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}&\Delta t\neq0\\ 0&\Delta t=0 \end{cases} \end{equation}$

という二つの関数を定める。このとき $f,g$ は微分可能なので $d_1,d_2$ は連続な関数である。また、定義より $f(x+\Delta x)=f(x)+\Delta x\dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}+\Delta xd_1(\Delta x)$ と $x(t+\Delta t)=x(t)+\Delta t\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+\Delta td_2(\Delta t)$ という等式が成り立つ。これらの等式によって $\dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}$ $=\displaystyle\lim_{\Delta t\to0}\dfrac{f(x(t+\Delta t))-f(x(t))}{\Delta t}$ $=\displaystyle\lim_{\Delta t\to0}\dfrac{\Delta x}{\Delta t}\Big(\dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}+d_1(\Delta x)\Big)$ $=\displaystyle\lim_{\Delta t\to0}\Big(\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+d_2(\Delta t)\Big)\Big(\dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}+d_1(\Delta x)\Big)$ $=\dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$ が導かれた $◽︎$