なぜ÷0は禁じ手なのか?——抽象的に考えることで、見えるもの——

　実数ではゼロ除算ができない。次の命題が成り立つからである。

は吸収元である

すべての実数にたいして、が成り立つ

　上の命題はなぜ除算を禁止するのだろうか。そのことを考えるために、まずは除算の定義について思い出してみよう。

　高校までに習う除算は二つある。それは算数的な余り付きの除算と、数学的なかけ算の逆として定義される除算である。今回は後者の除算について考えていく。後者の除算は次のように定義される。

除算の定義

をで割る、という言葉はをみたすようなをにかけることを意味する

　ちょっと分かりづらいので例を提示しておく。

例

をで割りたいと思ったとする。このときにたいしてとなるはである。つまり、をで割るというのはを計算するのと同じである。

　そりゃ、当然である。もうちょっと難しい例の方がわかりやすい気がするので、もう一例挙げてみる。

例

をで割ることを考える。このとき、を満たすは であり、をで割るというのはを計算することと全く同じことである。

　たぶん歴史的には一つ目の例が先に出てきて、ここでは割り算をかけ算に変えるということをする必要がなかったけれど、二つ目のようなちょっと複雑な例が出てきて定義をより柔軟なものに変えたのだろう。

　察しのいい方は気づかれたかもしれないが、この定義では割る数にとなるが存在することを要求している。だが、そのようなことは本当に絶対に成り立つのだろうか。例えばとなるが存在しない数も存在するかもしれない。そのような数では除算をすることができないのではないか。

　それが除算のできない、もっとも本質的な理由である。

　もっとも上に掲載した定理によるととなる。つまりどうやってをとってきてもにはならない。つまりにはとなるようなは存在しない。だから、で割り算をすることはできない。

　だが、われわれが見ているのは数学である。数学では命題を考えるのと同じくらいに、なぜ命題が成り立つのか、成り立たないかを考えることも重要である。ということで除算ができない理由、すなわちが成り立ってしまう原因を考えていこう。もしかしたら、このことを深く考えることで、除算ができるような興味深い体系が発見できるかもしれない。

　実数の演算について考えてみよう。もっとも抽象的な性質について考える。われわれは幸運なことに、その性質を小学生の時にはすでに知っていた。思い出してみよう。

　まず、小学生の頃だったか、足し算は順番を入れ替えても答えが同じになるという、交かんのきまりを勉強した。そして同時に、三つ以上の数の足し算はどこからでも計算してよいという、結合のきまり、最後に、かけ算は足し算に配れるという分配のきまりを勉強したはずだ。これらはそれぞれ、交換法則、結合法則、分配法則と大人びた、しかし意味内容はほとんど変わらない言葉に言い換えられた。

「きまり」の例

　交換法則

　

　入れ替えても計算の結果は変わらない。

　結合法則

　

　括弧をどこにつけようが、結末は変わらない。

　分配法則

　

　かけ算は配れる。

　これ以外にも計算の法則はあるだろうか。計算の法則ではないが、数の性質がある。それも、強く演算に関わってくるようなものの。

　それがとである。

　は足し算、はかけ算で、演算された数を変えない唯一の元である。こういうある演算に対して、演算したものを変えないような元を単位元という。

　また、元の数にたいして、足し算をするととなる数がある。これを加法的逆元という。いわゆるマイナス〜と呼ばれる数である。

　さて、ここまでの性質の列挙で、実は一番最初に掲げた定理が成り立つ。再掲しよう。

は吸収元である

すべての実数にたいして、が成り立つ

　これの証明は、今までの法則を使えば非常に簡単である。

　が成り立つ。ここで加法的逆元を加えると、が成り立つ

　証明にはの性質と、分配法則、加法的逆元の存在を使っている。すなわち、これらからジェンガのようになにかをなくすとこの証明は成り立たないことが分かる。

　除算のためにはの性質を持った元が必要なので、抜くべきは分配法則か加法的逆元のどちらかである。

　どちらの性質も完全にはなくさず、緩めたものが新たなる代数体系である輪である。

輪の定義

を集合としてそこに交換法則、結合法則を満たす足し算かけ算を導入する。また特殊な記号として足し算かけ算のそれぞれの単位元となるを入れ、さらに単項演算を導入する。ここで次のような公理を満たす代数構造を輪と呼ぶ。

　単項演算とは、のように、一つの数にたいして操作を行うものである。今回はという逆数をとるような演算を入れている。

　そして思うのが、公理が長すぎるということである。公理をいじくるのも一苦労である。ここで輪ではによる除算のようなものが許されていることに注目する。前述したとおりという数はの逆数のようなものになっている。であるので 、を考えることでの除算もどきが考えられるのである。

ここで実数を含むような具体的な輪を構成する。

here

に元を加え、以下のような演算の規則を設定する。

を実数の元とする。

をでない実数とする。

ここでを考えるとこれはと一致するのでのときは、のときはとなる。

このように代数構造を緩めることで除算ができるようになる。しかしその構造は複雑怪奇であり、少々扱いが難しいため、除算を禁止した方がいくぶんか簡単ではないだろうか。