黄金比の冪乗はフィボナッチの味がする

　黄金比 $\phi$ は $\phi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ と定義される無理数である。この無理数は方程式 $x^2-x-1=0$ を満たす。

さて、このとき $\phi^n$ を考えてみよう。そのまま $n$ 乗すると計算量が大幅に大きくなるので、 $\phi^2=\phi+1$ を利用しよう。 $n\ge0$ であることに十分に気をつける。

　まず、

　 $\phi^3=$ $\phi\phi^2=$ $\phi(\phi+1)=$ $\phi^2+\phi=$ $2\phi+1$

が成り立つ。

　ついで

$\phi^4=$ $\phi\phi^3=$ $2\phi^2+\phi=$ $3\phi+2$

と

$\phi^5=$ $\phi\phi^4=$ $3\phi^2+2\phi=$ $5\phi+3$

という等式が導かれる。

　ここでおもむろに $\phi^n$ を一次の形にしたときの、 $\phi$ の係数と定数項を並べてみよう。係数は $0,1,1,2,3,5,\cdots$ 、定数項は $1,0,1,2,3,5,\cdots$

$\cdots\cdots$

🧐

😮

😁

　何ということだ。フィボナッチ数列再登場である。初登場では階段を童心に帰って登る場合の数で登場したが、今回は黄金比の $n$ 乗で現れた。このことをきちんと証明してみよう。証明はもちろん、数学的帰納法を用いる。

黄金比の冪乗にフィボナッチ数

フィボナッチ数列を $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n,F_{-1}=1,F_0=0$ と定義すると、 $n\ge0$ について、 $\phi^n=F_n\phi+F_{n-1}$ が成り立つ

$Proof$

$\phi^0=0\phi+1$ より、 $n=0$ の場合は正しい。 $\phi^{n+1}=$ $\phi\phi^n=$ $\phi(F_n\phi+F_{n-1})=$ $F_n\phi+F_n+F_{n-1}\phi=$ $F_{n+1}\phi+F_n$ $◽︎$

　さて、この定理は $x^2-x-1=0$ を満たすような数に対して成り立つので、 $\phi$ ではないもう一つの解 $\bar{\phi}$ に対しても同じ定理が成り立つ。すなわち

$\phi^n=F_n\phi+F_{n-1}$

$\bar{\phi}^n=F_n\bar{\phi}+F_{n-1}$

の二つの等式が導ける。これらを辺々引き算すると、 $\phi^n-\bar{\phi}^n=F_n(\phi-\bar{\phi})$ となって $F_n=\dfrac{\phi^n-\bar{\phi}^n}{\phi-\bar{\phi}}$ が導出される。このフィボナッチ数列の一般項のことをビネの公式という。