数ならぬ

理学系のこと、特に数学について書きます。雑学的な知識もまとめていく所存。

-1から1の間の数の冪乗は0に収束することの変な証明

5分読了極限

冪乗の収束

$-1< r <1$ のとき、 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}r^n=0$

$Proof$

　 $1 > r\ge 0$ のときには $0\leq r^{n+1}\leq r^n$ が成り立つことに注意すると、単調収束定理より、 $r^n$ は極限値を持つことがわかる。これを $\alpha$ とおく。

　 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}r^{n+1}=r\alpha$ が成り立つが、一方では、 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}r^{n+1}=\alpha$ が成り立つ。

　よって $\alpha=r\alpha$ という等式が導かれる。 $r\neq 1$ に注意すると、 $\alpha=0$ がわかる。

　 $(-r)^n$ のとき、この絶対値は $r^n$ と等しく、挟み撃ちの原理によってこれまた $0$ に収束する $◽︎$