コーシー-シュワルツの不等式と二乗の和

　かなり有名な不等式として、次のようなものがある。

コーシー-シュワルツの不等式

実数 $a_k,b_k$ について

$\displaystyle\bigg(\sum_{k=1}^n a_k b_k\bigg)^2\leq\bigg(\sum_{k=1}^n a_k^2\bigg)\bigg(\sum_{k=1}^n b_k^2\bigg)$

全ての $k$ で $a_k,b_k\neq 0$ が成り立つときの等号成立条件は、 $b_k=ta_k$ となる共通の $t$ が存在すること

　さまざまな証明があるが今回は思いつきやすい証明を用いる。まず不等式 $A\ge B$ が成り立つことを示すときに使える手法を確認する。 $A\ge C\ge B$ となる $C$ がとれれば、 $A\ge B$ が自明に成り立つ。また $A-B\ge 0$ が成り立てばこれまた自明に $A\ge B$ がなりたつ。今回は $A-B\ge 0$ を示す方針で攻めるのがよいだろうか。 $2$ 乗の和と $\ge 0$ の相性はすこぶるよいからである。この方針で不等式を示しに行く。

$Proof$

$\displaystyle\bigg(\sum_{k=1}^n a_k^2\bigg)\bigg(\sum_{k=1}^n b_k^2\bigg)-\bigg(\sum_{k=1}^n a_k b_k\bigg)^2\ge0$ を示す。左辺をうまく変形する。とりあえず展開する。すると、

$\displaystyle\bigg(\sum_{k=1}^n a_k^2\bigg)\bigg(\sum_{k=1}^n b_k^2\bigg)$

$\displaystyle =\sum_{k=1}^n a_k^2 b_k^2+\sum_{1\leq i < j\leq n} (a_i^2b_j^2+a_j^2b_i^2)$

と、

$\displaystyle\bigg(\sum_{k=1}^n a_k b_k\bigg)^2$

$\displaystyle=\sum_{k=1}^n a_k^2b_k^2+2\sum_{1\leq i < j\leq n}a_ib_ia_jb_j$

　という二つの等式が導かれる。ここで、 $\displaystyle\bigg(\sum_{k=1}^n a_k^2\bigg)\bigg(\sum_{k=1}^n b_k^2\bigg)-\bigg(\sum_{k=1}^n a_k b_k\bigg)^2$ にこれを代入すると、 $\displaystyle\sum_{1\leq i < j\leq n} (a_i^2b_j^2+a_j^2b_i^2)-2\sum_{1\leq i < j\leq n}a_ib_ia_jb_j$

　と形を変えられる。よって $(X-Y)^2=X^2-2XY+Y^2$ を用いると、この式は $\displaystyle\sum_{1\leq i < j\leq n} (a_ib_j-b_ia_j)^2$ と二乗の和の形にまとめられる。よって $A-B\ge 0$ が示せたので、不等式自体の証明は完了した。

　最後に、等号成立条件について吟味する。変形した後の式が $0$ になることが等号の成立する必要十分条件であろう。ということで

$\displaystyle\sum_{1\leq i < j\leq n} (a_ib_j-b_ia_j)^2=0$ が等号成立のときに成り立ち、かつその時にのみ等号は成立する。(この「〜のときに成立しその時に限って成立する」ことを英語では $\mathrm{if\space and\space only\space if}$ と言うらしい。)

二乗の和を $0$ とするには $()^2$ の中身を全て $0$ にしなければならず、それは全ての $1\leq i < j\leq n$ において、 $a_ib_j-b_ia_j=0$ が成り立つことと同値である。ここで、全ての $k$ で $a_k,b_k\neq 0$ が成り立つ時にはさらにうまい変形がある。移項して $a_jb_i$ で割ると、 $\dfrac{b_j}{a_j}=\dfrac{b_i}{a_i}$ が成り立つことがわかる。これが全ての $1\leq i < j\leq n$ で成り立つので、 $j=n$ とすると、