アーベルの級数変形公式≒部分積分

　アーベルの級数変形という、積の和の形の級数をうまく変形する方法がある。

アーベルの級数変形公式

$A_N$ を漸化式 $A_{-1}=0, A_{N+1}=A_N+a_{N+1}$ を満たすような数列とする。このとき、 $\displaystyle\sum_{n=0}^{N} a_n b_n=A_N b_N-\sum_{n=0}^{N-1} A_n(b_{n+1}- b_n)$

　場合わけをなくすために $A_N$ を漸化式によって定義したが、普通 $A_N$ は $\displaystyle\sum_{n=0}^N a_n$ と表記される数である。

　さて、 $A_N$ の定義から、 $A_N-A_{N-1}=a_N$ が成り立つことを念頭において証明に臨もう。

$Proof$

$\displaystyle\sum_{n=0}^{N} a_n b_n= \sum_{n=0}^{N} (A_n-A_{n-1})b_n$

という変形を行う。これを展開することによって、目的の級数は $\displaystyle\sum_{n=0}^{N} A_n b_n-\sum_{n=0}^{N} A_{n-1}b_n$ と等しいことがわかる。 $N\ge 1$ とする。 $A_n$ の添え字を合わせるためにシグマの中身を一部だけ取り出す。すると、 $\displaystyle\sum_{n=0}^{N-1} A_n b_n+A_N b_N-\sum_{n=0}^{N-1} A_n b_{n+1}$ がわかる。この和をまとめると、 $\displaystyle\sum_{n=0}^{N-1} (A_n b_n-A_n b_{n+1})+A_N b_N$ となって、等式で全体を結ぶと $N\ge 1$ で $\displaystyle\sum_{n=0}^{N} a_n b_n=A_N b_N-\sum_{n=0}^{N-1} A_n(b_{n+1}- b_n)$ が導けた。

$N=0$ では、 $\displaystyle\sum_{n=0}^{-1} A_n(b_{n+1}- b_n)=0$ と見なせば、等式が成り立つ。 $◽︎$

　この変形は汎用性が高いが、特に活躍するのは収束判定法を証明するときである。

$\mathrm{Abel}$ の収束判定法と $\mathrm{Dirichlet}$ の収束判定法

$c_n$ が単調で有界かつ $\displaystyle\sum_{n=0}^{N} a_n$ が収束するならば、

$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} c_n a_n$ は収束する

また、 $c_n$ が単調かつ $0$ に収束し、 $\displaystyle\sum_{n=0}^N a_n$ が有界であれば、

$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} c_n a_n$ は収束する

$Proof$

アーベルの変形を用いて式を変形する。 $A_n$ を公式と同じように定めると、 $\displaystyle\sum_{n=0}^N c_n a_n=A_N c_N-\sum_{n=0}^{N-1} A_n (c_{n+1}-c_n)$

ここで、 $c_n$ は単調で有界なので収束する。その収束先を $c$ とおく。また条件によって $A_N$ も収束する。この収束先を $A$ とおく。そして収束する数列は有界であることにより、 $|A_N|\leq M$ となる定数 $M$ をとる。 $\displaystyle\lim_{N\to\infty}A_N c_N=cA$ と $\displaystyle\sum_{n=0}^{N-1} \bigg|A_n (c_{n+1}-c_n)\bigg|\leq M\bigg|c_N-c_0\bigg|$ より、 $\displaystyle\sum_{n=0}^N c_n a_n$ は収束することが分かる。

$\displaystyle\sum_{n=0}^N c_n a_n=A_N c_N-\sum_{n=0}^{N-1} A_n (c_{n+1}-c_n)$ に違う条件を加えて収束性を調べることを考える。 $\displaystyle\lim_{N\to\infty}c_N=0$ と $A_N$ が有界であることによって、 $\displaystyle\lim_{N\to\infty}A_N c_N=0$ がわかる。また、 $\displaystyle\sum_{n=0}^{N-1} \bigg|A_n (c_{n+1}-c_n)\bigg|$ を考えると、これは $|A_N|\leq M$ と $c_n$ が単調で $0$ に収束することにより、 $\displaystyle\sum_{n=0}^{N-1} \bigg|A_n (c_{n+1}-c_n)\bigg|\leq M\bigg|c_N-c_0\bigg|$