数ならぬ

理学系のこと、特に数学について書きます。雑学的な知識もまとめていく所存。

計算の工夫

　中学校の数学では、次のような問題が最初期に出る。

計算の工夫

$78\times82$ を工夫して計算しなさい

　この手の計算を嫌う人はなんとなく多そうだが、こういう計算は日常生活でそこそこ役に立つ気がする。まあ別に電卓があれば十分であるが。

　一応、計算の工夫の方法を説明しておこう。

$78\times82$ は $80$ を基準とすると、 $(80-2)(80+2)$ とかけるので、これを二乗 $-$ 二乗で展開すると、 $80^2-2^2=6396$ と求められる。

　このように計算が面倒くさい $二桁\times 二桁$ の掛け算を手早く済ませられるのが、計算の工夫をする理由の肝要である。この視点をもう一歩進めて、一般化した計算の工夫を導いてみよう。

　計算の工夫の手順のその一は二つの数 $a,b$ の基準を設定することである。基準の設定の方法は簡単である。基準の数を $p$ として、 $b-p=p-a$ が成り立てば良い。この方程式を解くと、基準は $p=\dfrac{a+b}{2}$ となる。

　この基準を用いて変形すると、 $ab=\bigg(\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{a-b}{2}\bigg)\bigg(\dfrac{a+b}{2}-\dfrac{a-b}{2}\bigg)$

という等式が導ける。これを二乗 $-$ 二乗の式を用いて展開すると、 $ab=\bigg(\dfrac{a+b}{2}\bigg)^2-\bigg(\dfrac{a-b}{2}\bigg)^2$

　別に大した等式ではない。

　試しに色々遊んでみよう。たとえば $a+b=2(n+1),a-b=2n$ となるように、 $a,b$ を定める。すると、 $a=2n+1,b=1$ となり、これを計算の工夫の式に突っ込むと、

　 $2n+1=(n+1)^2-n^2$

これに $\displaystyle\sum_{k=1}^n$ を被せると、

$\displaystyle\sum_{k=1}^n(2k+1)=(n+1)^2-1=n(n+2)$

ここから

$\displaystyle\sum_{k=1}^n k=\dfrac{1}{2}n(n+1)$

　別にこの式を経由しなくてもいいが、なんとなくしたくなったのでやってみた。

やはりこの式はひどく自明なものに見える。二乗引く二乗の式を変形しただけなので当たり前なのだが、もう一つ何かあればなぁ $\cdots$