ヘロヘロな時にこそヘロンの公式

　私事だが、最近運動を活発に行うようになってきた。健康上の懸念とかそういうのではなく、ただ単にやりたいからやっているだけだ。汗を流すのはこの寒い冬(あき) だととても気持ちいい。夏はまあ、立っているだけで運動みたいなものなので、あまりしていなかった。

　さて、運動をして疲れているときにはどうするべきだろうか。そう、数学をするのだ。小学校の頃を思い出してみると、三角形の面積を求めるというのは、結構な大事だったような気がしてくる。

　学習指導要領をチラ見すると、三角形の求積を学習するのは第五学年、要するに小学五年生のときだった。私の微かな記憶では、裁ち合わせみたいなことをして三角形の面積を四角形の面積に直して計算をしていた。

　念の為、三角形の面積の求め方を復習したのちに、ヘロンの公式について掘り下げていこう。

　三角形の面積公式という言葉はいくつかの定理のまとまりを表しているように思えるので、簡単な面積公式から見ていこう。

　第一に、「面積は底辺 $\times$ 高さ $\div$ 2」であるという標語で我々の頭に染み付いている公式だ。この公式を理解するには、底辺と高さという概念への理解が必要だった。

　しかし、底辺というのはいくつかの中から選択可能な概念なので、定義するのは面倒そうである。よってここでは「辺に対する高さ」を定義して済ませようと思う。

三角形のある辺の高さの定義

$\triangle ABC$ に対して辺 $AB$ に対する高さを、 $AB$ を延長した直線を $l$ として、 $l$ と対角 $C$ からおろした垂線の交点を $H$ としたときの $CH$ の長さとして定義する。またこのときの辺 $AB$ を底辺という。

　このようにして高さという概念を定義した。高さは英語で $height$ であるので高さを表す記号としてはよく $h$ が使われる。この高さという概念と底辺という付随物を使うと三角形の面積を簡単に求めることができる。

最も原始的な三角形の面積公式

$\triangle ABC$ の底辺の長さを $b$ 、その底辺に対する高さを $h$ と書くと、

三角形の面積 $S$ は $S=\dfrac{bh}{2}$ と書くことができる

$Proof$

三角形 $\triangle ABC$ の面積を $S$ とおく。また、底辺 $AB$ の長さを $b$ 、高さを $h$ とおく

場合わけをして証明する。対称性により $\triangle ABC$ の底辺を辺 $AB$ と定めた時のみについて証明する。 $C$ から底辺に向かって垂線をおろした時、辺 $AB$ を延長した直線とどこで交わるかによって場合わけをする。垂線と直線の交点を $H$ と書く。

ベースとなる、 $H$ が $A,B$ のどちらかの点に一致した時を示そう。

これは $180°$ 回転させた図形と組み合わせることで長方形の面積を求める問題に帰着される。

長方形の面積は簡単に求められて、縦 $\times$ 横をするだけだった。横は底辺のことであり、縦は高さのことである。よってこの長方形の面積は $bh$ である。

この長方形は求めたかった三角形二つをくっつけたものなので、 $S=\dfrac{bh}{2}$ が成り立つ。

$H$ が辺 $AB$ の間にある時を示そう。

　このような時 $S$ は $\triangle ACH$ と $\triangle BCH$ の面積を各々 $Q,R$ とおいた時に $R+Q$ と一致することは認めてしまって構わない。面積はそのような性質を満たす量として定義されるからである。

　 $AH=s$ 、 $BH=t$ とおくと、定義によって $AB=s+t$ である。さて、これらの量を用いて $Q$ と $R$ の面積を求める。

　 $Q$ の求積

底辺の長さは $s$ で高さは $h$ であり、前の結果を流用すれと、 $Q=\dfrac{sh}{2}$ が成立する。

　 $R$ の求積

$Q$ と同じようにする。底辺の長さは $t$ で高さは $h$ なので $R=\dfrac{th}{2}$

　これらの結果を合わせると、 $S=Q+R=\dfrac{sh}{2}+\dfrac{th}{2}=\dfrac{h}{2}\times(s+t)=\dfrac{bh}{2}$

$H$ が $AB$ の外側にあるときを最後に示す。

　ここで、 $\triangle AHC$ の面積を $Q$ 、 $\triangle BCH$ の面積を $R$ とおくと、[tx:S=Q-R]が成り立っている。ここで、 $Q,R$ はそれぞれ元の三角形が直角三角形なので簡単に求められる。 $AH=s,HB=t$ とおくと、 $b=s-t$ が成り立つことがわかる。

　 $Q$ の求積

底辺は $s$ 、高さは $h$ であるので $Q=\dfrac{sh}{2}$

　 $R$ の求積

底辺は $t$ 、高さは $h$ であるので $R=\dfrac{th}{2}$

　これらを引き算すると、 $S=Q-R=\dfrac{sh}{2}-\dfrac{th}{2}=\dfrac{bh}{2}$

三つの結果を合わせると $S=\dfrac{bh}{2}$ であることがわかる $◽︎$

非常に綺麗な結果となった。 $S$ はどこに高さがあろうとも「底辺 $\times$ 高さ $\div 2$ 」になることがわかった。

　さて、この公式をうまく変形することで第二の公式が得られる。

　ここで、三角形の合同条件について考えてみる。三角形の合同条件によると、二辺とその間にある角が等しい三角形は合同であった。また合同である三角形は面積が等しい。

　この論理の流れから、高さに依存せずとも二辺とその間にある角によって面積を求められるのでは、と思える。実際にそのような方法は存在する。それが第二の公式であり、高校数学での面積の求め方だった。

三角関数を用いた三角形の面積公式

$\triangle ABC$ の面積 $S$ は辺 $AB,AC$ の長さ $b,c$ とその間の角 $\theta$ によって

$S=\dfrac{bc\sin\theta}{2}$

とかける

　証明は先ほど得られた三角形の面積公式の高さを消去する形で行われる。

$Proof$

三角比の定義を用いて証明を行う。 $\theta$ の大きさで場合わけをする。

$0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ のとき

図は以下のようになる

ここで、 $\sin\theta$ を求めると、三角比の定義によって $\sin\theta=\dfrac{h}{c}$ となることがわかる。よって高さを消去するように変形すると $h=c\sin\theta$ となって、 $S=\dfrac{bh}{2}=\dfrac{bc\sin\theta}{2}$

$\theta =\dfrac{\pi}{2}$ のとき

というふうな図となる。これの $\sin\theta$ は $1$ となる。直観的に三角比で高さを表すことは難しいが $h=c$ が成り立っていることを利用すると、 $h=c\sin\theta$ が成り立っていると思える。

　よって面積の式は $S=\dfrac{bc\sin\theta}{2}$ と表せる。

$\dfrac{\pi}{2}<\theta <\pi$ のとき

この時には $\sin\theta=\sin (\pi-\theta)$ となることと、 $\sin\angle CAH=\dfrac{AH}{AC}=\dfrac{h}{c}$ となることを合わせて、 $\sin\theta =\dfrac{h}{c}$ が導ける。

よって、面積は

$S=\dfrac{bc\sin\theta}{2}$

と書くことができる。 $◽︎$

　だんだんとヘロンの公式に近づいてきた。ここで、次の定理を認める。証明はここを見よ。

余弦定理

$\triangle ABC$ の三辺 $AB,BC,CA$ の長さを $c,a,b$ とおく。このとき、 $BC,CA$ の間の角を $\theta$ と書くと、 $c^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta$

　逆に言えば辺の長さから角度の情報が定まるということであり、ここではたと、この公式で三角形の面積公式の $\sin\theta$ を消せるのではないか、と気づく

　実際にそれを実行してみよう。

辺の長さの設定は余弦定理の中で述べられているものと同じようにする。

とりあえず面積公式を二乗する。辺の情報から角度の情報が得られるのは $\cos\theta$ だが、面積公式に入っているのは $\sin\theta$ である。このねじれを解消するために、二乗することで $\sin {}^2\theta=1-\cos {}^2\theta$ の式で $\sin$ から $\cos$ にスイッチできる。