x²≡1 (mod pᵉ)を解く

　は奇素数と仮定する。またを正の整数と仮定する。

合同式の解

はほとんど自明である。よってを示す。に対してが成り立っている。これを因数分解の形に持っていくと、という式が導ける。のの指数を、のの指数をとする。このとき、とするとの下で

①かつ②

が成り立っていることがわかる。

ここで、と仮定しても、これは条件を強めただけなので、よい。

かが成り立っていれば、命題は満たされている。よってそれ以外の時について吟味する。

の時を考える。

②①を行うと、

が成り立っていることがわかる。

この時、も成り立っているので、右辺はの倍数となっている。しかし、左辺はであり、これはが奇素数であることに矛盾する。