72の法則と対数関数

　金融の法則で、 $72$ の法則なるものがあるらしい。

72の法則

複利において利子を $r$ %とおくと、元の金額から二倍の金額になるまでにかかる期間は大体 $\hspace{1mm}\dfrac{72}{r}\hspace{1mm}$ である

　これは複利の考え方がわかっていれば簡単に導ける法則である。次のように条件を設定する。

条件設定

$A>0$ の価値のものに複利で利子 $r$ % $>0$ をつける。利子は単位時間あたりにつくものとする。

　単位時間というのは一月でもいいし一年でもいい。とにかく考えている時間の感覚である。であるので適当な整数で時間を代用してもいい。 $1$ ヶ月を $1$ と表してもいいし、 $1$ 年を $1$ と表してもいい。

　このような離散的な問題には数列で漸化式を求めてやるのが定石である。

定義1数列 $a_n$ の定義

$a_n$ を時刻 $n$ における $A$ の価値のものの利子つきの価値であるとする

　この定義から、即座に $a_0=A$ が従う。

　また、求めるべき時間を次のように定義する。

$N$ の定義

$a_n\ge 2A$ を初めて満たすような $n$ を $N$ と書く。

補題1 $a_n$ の漸化式

$a_{n+1}=\bigg(1+\dfrac{r}{100}\bigg)a_n$

$Proof$
$S$ の価値があるものは単位時間すぎると $\bigg(1+\dfrac{r}{100}\bigg)$ となる。であるから、 $a_{n+1}=\bigg(1+\dfrac{r}{100}\bigg)a_n$ が成り立つ $◽︎$

　この補題から、等比数列の一般項の公式を使うことで、 $a_n=\bigg(1+\dfrac{r}{100}\bigg)^n A$ であることがわかる。この式から $N$ を求める。

定理1精密版 $72$ の法則

$n\ge \dfrac{\ln 2}{\ln \bigg(1+\dfrac{r}{100}\bigg)}$ となる最小の $n$ が求めるべき $N$ である

$Proof$
$\bigg(1+\dfrac{r}{100}\bigg)^n A\ge 2A$ を考えると、この式は
$\bigg(1+\dfrac{r}{100}\bigg)^n\ge 2$ と同値である。両辺に $\ln$ を取ると、 $n\ln \bigg(1+\dfrac{r}{100}\bigg)\ge\ln 2$ という不等式が導かれる。これを整理すると $n\ge\dfrac{\ln 2}{\ln \bigg(1+\dfrac{r}{100}\bigg)}$ $◽︎$

　ここで $\dfrac{r}{100}$ はそこまで大きくならないので、 $0$ に近いと思えて、次の近似が使える。

$\ln x$ の一次近似

$\ln x\approx 1+x$

　もはや近似をしたので定理とは呼べないが以下の事実を便宜上定理と呼ぶ。

$69$ の法則

$N\approx \dfrac{100\ln 2}{r}\approx\dfrac{69}{r}$

$Explanation$
$n\ge\dfrac{\ln 2}{\ln \bigg(1+\dfrac{r}{100}\bigg)}$ に対して、 $\ln \bigg(1+\dfrac{r}{100}\bigg)\approx\dfrac{r}{100}$ を用いれば良い。また $\ln 2\approx 0.69$ を用いると最右辺が説明できる

　ここで $ln (1+x)\leq x$ が成り立っていることから、 $\ln \bigg(1+\dfrac{r}{100}\bigg)\leq \dfrac{r}{100}$ が成り立つこともわかるので、 $\dfrac{\ln 2}{\ln \bigg(1+\dfrac{r}{100}\bigg)}\ge \dfrac{100\ln 2}{r}>\dfrac{69}{r}$
この不等式により $\dfrac{69}{r}$ によって $N$ の下からの評価が得られる。またこの $69$ に下駄を履かせてやって $72$ としてやると $\dfrac{72}{r}$ とかける。この $72$ という数字を選んだ理由は $72$ の約数が $1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72$ と多いからだと言われている。別に $69$ でもいいような気がするが $\cdots\cdots$
また式の形を見ると $A$ に依存しないことがわかる。これは微分方程式でも同じような話題が出てきてそのアナロジーとも思える。