確率漸化式の小技——一般項の予測——

　論述では使えないが、ただ確率漸化式の一般項を書くような問題に出会ったときに使える小技を紹介しよう。例えば次のような問題があるとする。

確率の問題

$n$ 回どの目も等確率で現れるサイコロを投げたとき、 $1$ が出た回数が偶数回となるような確率 $\hspace{1mm}p_n\hspace{1mm}$ を求めなさい

　よくある確率漸化式の問題である。一般的な解法から述べる。

解答
$p_1=\dfrac{5}{6}$ である。漸化式を立てる。 $p_{n+1}=\dfrac{5}{6} p_n+\dfrac{1}{6} (1-p_n)=\dfrac{2}{3} p_n +\dfrac{1}{6}$ である。この漸化式を解く。特性方程式もどきを解くことで、 $\dfrac{1}{2}$ を両辺から引き算すれば良いことがわかる。よって $p_{n+1}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{3} p_n -\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3} \bigg(p_n -\dfrac{1}{2}\bigg)$
ここから $p_n-\dfrac{1}{2}=\bigg(\dfrac{2}{3}\bigg)^{n-1}\bigg(\dfrac{5}{6}-\dfrac{1}{2}\bigg)=\bigg(\dfrac{2}{3}\bigg)^{n-1}\bigg(\dfrac{1}{3}\bigg)$ がわかる。よって $p_n=\dfrac{1}{2}+\bigg(\dfrac{2}{3}\bigg)^{n-1}\bigg(\dfrac{1}{3}\bigg)$