群論のための超基本的な抽象代数の用語

　これから群論について書こうと思っているので、そこで現れる数々の抽象的な用語に対応するべく、この記事を書く。と言ってもそこまで難しくないので、 $self-contained$ 欲でこの記事を書いていると思ってもらって構わない。

定義1.1二項演算

写像 $\mu$ が集合 $X$ の上の二項演算であるとは、
$\mu$ の定義域が $X\times X$ である
$\mu$ の値域が $X$ である
という二つの条件を満たすことをいう

定義1.2台集合

$\mu$ が集合 $X$ 上の二項演算であるとき、 $X$ を $\mu$ の台集合という

　例えば以下のようなものでも演算である。

例1.1

$X=\{1,2,3\}$ と定義する。
$\mu$ を
$\mu (1,1)=1,\mu (1,2)=3,\mu (1,3)=1$
$\mu (2,1)=3,\mu (2,2)=2,\mu (2,3)=2$
$\mu (3,1)=2,\mu (3,2)=1,\mu (3,3)=2$
というふうに定義すると、これは $X$ 上で二項演算をなす。1と3を演算して、と言われたら1が出てくるというカオスが味わえる

　結局のところ人間がどれだけ扱いにくくても条件を満たしていれば演算は演算である。また、二項演算においてはその演算の対象となる数が二つであるので、中置記法というものが多く用いられる。

定義1.3中置記法

$X$ 上の二項演算 $\mu$ について、 $a\cdot b$ を $\mu (a,b)$ の略記とみなす

　以降、ありがたく二項演算は $\cdot$ と中置記法で略記する。

　演算を定めたわけだが、病的な例でも見たように、人間にとって扱いにくいものでも演算となるので、人間が扱いやすいと思えるような性質を抽出しておこう。

　まず、真っ先に思いつく演算の性質は「結合法則」や「交換法則」だろう。ということでこの二つを定義しよう。

定義1.4結合法則

$\forall x,y,z \in X,(x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)$ が成立することを、 $\hspace{1mm}\cdot\hspace{2mm}$ は結合法則を満たすという

定義1.5交換法則

$\forall x,y \in X,x\cdot y=y\cdot x$ が成立することを、 $\hspace{1mm}\cdot\hspace{2mm}$ は交換法則を満たすという

　この世に交換法則を満たさないような二項演算は数多くあれど、結合法則すら成り立たないような二項演算は少ない。なんせ写像すら合成で結合法則を満たすのだから。

　ということで、交換法則の方が重要そうに見えるけれども、結合法則の方が結構成り立つことが多いというのが代数学あるあるでした。結合法則を愛せ、交換法則を好め。

　ここで、なぜ結合法則を二項演算が満たしてくれると嬉しいのか考えてみよう。普段三つ以上の数の足し算が出てきた時、我々は別にそれらを括弧で括らない。
　なぜならどこから演算しても答えは一致するからである。
しかし結合法則を満たさないような演算ではそのようなことはできない。以下の例を見てほしい。

例1.2

$X=\{1,2,3\}$ と定義する。
この上の二項演算 $\hspace{1mm}\cdot\hspace{1mm}$ を
$1\cdot1=1\hspace{4mm}1\cdot2=3\hspace{4mm}1\cdot3=1$
$2\cdot1=3\hspace{4mm}2\cdot2=2\hspace{4mm}2\cdot3=2$
$3\cdot1=2\hspace{4mm}3\cdot2=1\hspace{4mm}3\cdot3=2$
というふうに定義する。
ここで、結合法則が成り立っていないことに注意する。
このとき $1\cdot2\cdot3$ と括弧を省略して演算を書いてしまうと、 $(1\cdot2)\cdot3=3\cdot3=2$ と $1\cdot(2\cdot3)=1\cdot2=3$ のように二通りの演算結果が出てしまい、演算が不定性を持つことになってしまう

　要するに括弧を省略したいなら、結合法則が必要だということだ。

　今までは全体の性質としてこういう法則が成り立つというある意味マクロ的視点に立って見てきたが、これからはミクロ的、要するにこういう性質を満たす要素が台集合にある、という形の法則を見ていこう。

定義1.6単位元

$\exists e_R \in X\hspace{2mm}\forall x \in X\hspace{2mm}x\cdot e_R=x$ となる元 $e_R$ を右単位元
$\exists e_L \in X\hspace{2mm}\forall x \in X\hspace{2mm}e_L\cdot x=x$ となる元 $e_L$ を左単位元
$\exists e \in X\hspace{2mm}\forall x \in X\hspace{2mm}x\cdot e=e\cdot x=x$ となる元 $e$ を両側単位元という。

つまり $X$ の中に $0$ のように共に演算した数を変えないような元が存在することを表している。両側単位元は特に「左側単位元」かつ「右側単位元」である元と言える。また両側単位元のことを単位元と言っても、文脈によるが大抵の場合許される。

　続いて両側単位元を持つことを前提にした定義をする。これはいわゆるマイナスや逆数の概念である。

定義1.7逆元

$X$ には $e$ が単位元として存在すると仮定する。
$x \in X\hspace{2mm}y \in X\hspace{2mm}x\cdot y=e$ が成り立つとき
$x$ を $y$ の単位元 $e$ 演算 $\hspace{2mm}\cdot\hspace{2mm}$ における左逆元と呼び、 $y$ を $x$ の単位元 $e$ 演算 $\hspace{2mm}\cdot\hspace{2mm}$ における右逆元と呼ぶ

　さて、今まで考えてきたのは二項演算であるが、二項係数に対して多項係数が存在するように、二項演算に対しても多項演算が存在する。ただし、多項係数とは違い、かなりマニアックなものとなる。

定義1.8 $\hspace{2mm}n$ 項演算

写像 $\mu$ が集合 $X$ の上の $n$ 項演算であるとは、
$\mu$ の定義域が $X^n$ である
$\mu$ の値域が $X$ である
という二つの条件を満たすことをいう

　三項演算の例などを出すのは面倒だが、例えば二項演算 $\hspace{2mm}\cdot\hspace{2mm}$ について $(a\cdot b)\cdot c$ は三項演算になっている。

　今までは演算のことに重点を置いていたが、今度からは「関係」に重点を置いて説明をしよう。関係というのは演算とよく似た定義がされる。

定義2.1二項関係

$A$ が $X$ 上で二項関係であるとは $A \subset X\times X$ であることと定義する

　二項関係の集合に入っている元に関係が定義されているということだが、これまたわかりにくいので例を出して説明する。

例2.1二項関係の例

$X=\{1,2,3\}$ と定義する。ここで $X$ 上の二項関係を $A=\{(2,3),(1,2),(3,3)\}$ と定義しよう。このとき、例えば $2$ と $3$ には関係があるが、 $3$ と $2$ には関係がない。 $1$ と $2$ には関係があるが $2$ と $1$ には関係がない。直観的に理解し難いが、こうやって定義したものはしょうがない。あとからいい感じの性質を見つければいいのだ

　上の例が納得しがたかったのは、関係することの対称性が失われていたためである。つまり $A$ と $B$ は関係するけど $B$ と $A$ は関係しない、という言葉が気持ち悪いのである。関係と言い張るくらいだったら、 $A$ と $B$ が関係するなら、 $B$ と $A$ も関係する、くらいのことは成り立っていてほしい。それが成り立っているのが等号である。
　二項関係というのは今まであった関係の性質を抽象化したものであるので自然な例を出すことで性質のいい二項関係がどのような性質を満たしているのかを知ることができる。

例2.2等号は二項関係である

$X$ 上の二項関係 $A$ を $A=\{(x,y): x=y\}$ と定義する

　等号の有名な性質として次の三つの性質がある。

例2.3等号に成り立つ性質の例

$A=A$
$A=B\Longrightarrow B=A$
$A=B$ かつ $B=C$ であるなら $A=C$

　そもそも等号が我々にとっていい性質を持つのは当然のことである。なぜなら等号というのは幼い頃から携わってきた数学記号の一つだからである。

　上で与えられた三つの性質に名前をつけてみよう。上から、関係が自分に跳ね返ってきているから反射律、関係に対称性があるから対称律、二つの等号関係を推移するように見えるから推移律と名付けてみよう。

定義2.2反射律

$X$ 上の二項関係 $A$ が反射律を満たすとは、 $\forall x\in X,(x,x)\in A$ が成り立つことと定義する

定義2.3対称律

$X$ 上の二項関係 $A$ が対称律を満たすとは
$\forall (x,y)\in A\Longrightarrow (y,x) \in A$
が成り立つことと定義する

定義2.4推移律

$X$ 上の二項関係 $A$ が推移律を満たすとは、 $\forall x,y,z\in X,(x,y)\in A,(y,z)\in A\Longrightarrow (x,z)\in A$ が成り立つことと定義する

　これら三つの性質の反例を作ろう。

例2.4反射律の反例

$X=\{0,1,2\}$ に対して $A=\{(0,1),(0,2),(1,2)\}$ と定義した二項関係 $A$ は反射律を満たさない、かつ対称律も満たさない。しかし、推移律は満たしている

例2.5対称律の反例

$X=\{0,1,2\}$ に対して $A=\{(0,0),(0,1),(0,2),(1,1)(1,2),(2,2)\}$ と定義した二項関係 $A$ は $(1,2)\in A$ だが $(2,1) \notin A$ であるため対称律を満たさない。しかし推移律と反射律は満たしている

例2.6推移律の反例

$X=\{0,1,2\}$ に対して $A=\{(0,1),(0,2),(1,0)(1,2),(2,0),(2,1)\}$ と定義した二項関係 $A$ は $(1,0) \in A$ かつ $(0,1) \in A$ であるが $(1,1) \notin A$ であるので、推移律を満たさない。また反射律を満たさないが、対称律は満たしている

　ここで、この三つを同時に満たす等号もどきに対する用語を定義する。

定義2.5同値関係の定義

$X$ 上の二項関係 $A$ が同値関係であるとは、 $A$ が反射律、対称律、推移律の三つ全てを満たすことと定義する

　ここで表記を簡潔にするために演算の時と同じような中置記法を導入する。

定義2.6二項関係の中置記法

$X$ の上に二項関係 $A$ を定める。このとき
$a\sim b\stackrel{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow} (a,b)\in A$ と $\sim$ を定義する

　同値関係を満たすような身近な例はやはり等号であるが、それだけではつまらないので変な例を示す

例2.7同値関係の例

実数集合 $\mathbb{R}$ に二項関係 $A=\{(x,y):x^3-3x^2-5x+4=y^3-3y^2-5y+4\}$ を定義すると、これは同値関係になっている。

$Proof$
これが同値関係であるということを証明する。反射律 $\longrightarrow$ 対称律 $\longrightarrow$ 推移律の順番に示す。見やすいように $\hspace{2mm}f(x)=x^3-3x^2-5x+4\hspace{2mm}$ と定義する。このとき、二項関係は $A=\{(x,y):f(x)=f(y)\}$ と書き直せる
反射律は $x=y\Longrightarrow f(x)=f(y)\Longleftrightarrow x\sim y$ であることにより示された。
対称律は $x\sim y\Longleftrightarrow f(x)=f(y)\Longrightarrow f(y)=f(x)\Longleftrightarrow y\sim x$ から示せる。
推移律を示す。 $x\sim y,y\sim z$ が成り立つとする。このとき $f(x)=f(y)$ かつ $f(y)=f(z)$ であるので、 $f(x)=f(z)$ が成り立って $x\sim z$ が成り立つことから示せた $◽︎$

　上で定義した同値関係について考える。例えば $0$ と同値関係が成り立っているのはどの元だろうか。この問題は前に定義した $\hspace{1mm}\sim\hspace{1mm}$ の記法によって書くと $0~x$ を満たすような $x$ を求める問題に書き直せる。これは三次方程式 $f(x)=f(0)$ を解く問題に帰着される。

定理2.1同値関係が成り立つ元

$f(x)=f(0)=4$ を満たすような $x$ は $x=0,\dfrac{3\pm\sqrt{29}}{2}$ である。よって $0\sim0,0\sim\dfrac{3+\sqrt{29}}{2},0\sim\dfrac{3-\sqrt{29}}{2}$ が成り立つ

$Proof$
$f(x)=f(0)$ を解けば良い。 $f(0)$ を移項すれば、 $f(x)-f(0)=x^3-3x^2-5x=0$ である。
因数分解すると、 $x^3-3x^2-5x=x(x^2-3x-5)$ のように変形できる。右辺の因数に現れた二次方程式を解く。
$x^2-3x-5=0$ が成り立つので、解の公式により $x=\dfrac{-(-3)\pm\sqrt{(-3)^2-4\times 1\times (-5)}}{2\times1}=\dfrac{3\pm\sqrt{29}}{2}$ $◽$

　このように元 $x$ に対して $x\sim y$ を満たす元 $y$ が気になるというのは極々自然な考えである。そのために等号の代わりに同値関係を定めたのではなかったか。この考えは次のように一般化される。

定義2.7同値類の定義

$X$ の上に同値関係 $\hspace{1mm}\sim\hspace{1mm}$ が成り立っているとする。このとき $x \in X$ に対して集合 $[x]=\{y:x\sim y\}$ を $x$ の同値類という。またこの $x$ のことを同値類 $[x]$ の代表元と呼ぶ

　同値類は先ほどの同値関係の例を出すと $[0]=\{0,\dfrac{3+\sqrt{29}}{2},\dfrac{3-\sqrt{29}}{2}\}$ というように同値関係が成り立つような元を集めたものである。同値類の一般的な性質として次のことが成り立つ。

定理2.2同値類に成り立つ定理

$X$ 上の同値関係 $\hspace{1mm}\sim\hspace{1mm}$ を考える。このとき $x,y$ の同値類 $[x],[y]$ に対して次の式が成り立つ。
$\fbox{代表元の含有}\hspace{2mm}x\in [x]$
$\fbox{代表元は取替可能}\hspace{2mm}x\sim y\Longrightarrow [x]=[y]$
$\fbox{同値類の一致}\hspace{2mm}[x]\cap [y]\ne \emptyset\Longrightarrow [x]=[y]$

$Proof$
$\fbox{代表元の含有}$ を示す。同値関係の定義により反射律が成り立つので $x\sim x$ が成り立ち、これは $x\in [x]$ と同値である。
$\fbox{代表元が取替可能}$ であることを示す。 $x\sim y$ が成り立っているとする。このとき $[x]=[y]$ を示そう。 $a\in [x]$ をとる。このとき、 $a\sim x\sim y$ であるので $a\sim y$ が成り立ち、これは $a\in [y]$ を意味する。よって $[x]\subset [y]$ が導ける。この議論は逆向きにもたどれるので、 $[x]=[y]$ が示された。
$\fbox{同値類の一致}$ を示す。 $[x]\cap [y]\ne \emptyset$ であるのである $z$ が存在して、 $z\in [x]\cap [y]$ が成り立つ。このことから $x\sim z$ と $y\sim z$ が成り立つことがわかり、推移律より $x\sim y$ が成り立つことがわかる。 $\fbox{代表元が取替可能}$ より $[x]=[y]$ が示された $◽︎$

　 $X$ を同値類によって分解して、その分解したかけらを再構築することを考える。要するに、同値類の区分けを残して $X$ を復活させる。この概念はとても重要であり、さまざまな分野で使われる

定義2.8商集合

$X$ 上の同値関係 $\hspace{1mm}\sim\hspace{1mm}$ の同値類を考える。このとき $\displaystyle \bigcup_{x\in X}[x]$ を $X$ の $\hspace{1mm}\sim\hspace{1mm}$ による商集合といい、 $X/\hspace{-1mm}\sim$ と書き表す

例2.8商集合の例

実数集合 $\mathbb{R}$ に同値関係 $\hspace{1mm}\sim\hspace{1mm}$ を $x\sim y\stackrel{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow}x-y\in\mathbb{Z}$ となるように定める。このとき商集合は $\mathbb{R}/\hspace{-1mm}\sim\hspace{2mm}=\{\cdots,[0],[\dfrac{1}{3}],[\pi],\cdots\}=\{\cdots,\{\cdots,-2-1,0,1,2\cdots\},$ $\{\cdots,-\dfrac{2}{3},\dfrac{1}{3},\dfrac{4}{3},\dfrac{7}{3},\cdots\},tex:\{\cdots,\pi-2,\pi-1,\pi,\pi+1,\pi+2\},\cdots\}$ というふうになる

　商集合には元の集合からの全射が定まる。

定義2.9自然な全射

$X$ 上の同値関係 $\hspace{1mm}\sim\hspace{1mm}$ を考え商集合 $X/\hspace{-1mm}\sim$ を構成する。このとき全射 $\pi:X\mapsto X/\hspace{-1mm}\sim$ を $x\mapsto [x]$ となるように定義する。この写像 $\pi$ を自然な全射と呼ぶ

　群論に入る上で最も重要な考え方を予習しておこう。群論は構造によって物事を分けていく学問なので、見た目は気にせずに構造だけに注目したい、というモチベーションが沸々と湧き上がってくる。そこで使われるのが同型という考え方である。

定義2.10二項関係の同型

$X$ 上に二項関係 $\hspace{1mm}\sim\hspace{1mm}$ 、 $Y$ 上に二項関係 $\hspace{1mm}\approx\hspace{1mm}$ が定まっているとする。このとき、 $f:X\mapsto Y$ が同型写像であるとは、 $f$ は全単射で、かつ $x\sim y\Longleftrightarrow f(x)\approx f(y)$
また、 $X$ と $Y$ の間に同型写像があることを $X$ と $Y$ は同型であると定義し、 $X\cong Y$ と書き表す

　同型であるということは直観的には、ラベルが違うだけで構造的には全く同じということを表している。以下の例を参照せよ。

例2.9同型な集合の例

$X=\{0,1,2\},Y=\{a,b,c\}$ 、各々の集合に定まる二項関係を $2\sim1,0\sim2\hspace{4mm}b\approx c,a\approx b$ と定義する。この時写像 $\hspace{1mm}f$ を $f(0)=a,f(1)=c,f(2)=b$ と定義すると、これは同型写像となる。

　よく目を凝らせば、関係 $\hspace{1mm}\sim\hspace{1mm}$ と $\hspace{1mm}\approx\hspace{1mm}$ は言っていることが同じであることに気づくだろう。具体的な元の見た目を無視して、関係だけに着目する上手いやり方が同型なのである。

数ならぬ

理学系のこと、特に数学について書きます。雑学的な知識もまとめていく所存。

群論のための超基本的な抽象代数の用語