数ならぬ

理学系のこと、特に数学について書きます。雑学的な知識もまとめていく所存。

√2+√3+√5は無理数か?

　無理数に決まっている。

Proof

　x=\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}と置く。この時、x-\sqrt{5}=\sqrt{2}+\sqrt{3}であるので、両辺二乗して展開すると、x^2-2\sqrt{5}x+5=5+2\sqrt{6}

幸いにも定数5を消すことができるので、そうすると、x^2-2\sqrt{5}x=2\sqrt{6}が導ける。

x^2=2\sqrt{5}x+2\sqrt{6}と変形できるのでこの両辺を二乗する。すると、x^4=20x^2+8\sqrt{30}x+24が導ける。ここで、\sqrt{k}が一つだけになったことに注目する。得られた式の右辺にルートだけが残るように移項してから二乗し整理すると、x^8+40x^6+352x^4+480x^2+576=0という整数係数の8次多項式が得られる。

　有理根定理の系を用いると、この8次方程式がもし有理数解を持つとすれば整数解しか持たない。

　このことから、\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}が有理数だと仮定すると、これはx^8+40x^6+352x^4+480x^2+576=0を満たすので、整数である必要がある。

 

1.41<\sqrt{2}< 1.42
1.73<\sqrt{3}< 1.74
2.23<\sqrt{5}< 2.24

 

Proof
両辺二乗して地道に計算すれば良い◽︎

 

　この数値計算により、5.37=1.41+1.73+2.23<\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5},\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}<1.42+1.74+2.24=5.4が成り立つことがわかり、我々は5.37と5.4の間にある整数を手に入れることができた。これは矛盾であり\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}が有理数だと仮定したのが偽である。\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}は実数なので無理数◽︎